Días grandes y pequeñeces

Hoy he paseado por las calles de Barcelona y he visto algo inédito: bastante gente con banderas españolas, dispuestos a celebrar el día de la Hispanidad. Muchos de ellos venían en autocares (he podido ver bastantes en Pau Claris), otros supongo que eran de la propia ciudad. En su ánimo, hacer de contrapeso a la reciente manifestación independentista de la Diada. Por lo visto los españoles nunca nos cansamos de pelearnos entre nosotros.

Luego he entrado en facebook y he visto a bastante gente, sobre todo sudamericana, con lemas del estilo "12 de Octubre, nada que celebrar". Muchos mostraban imágenes en referencia a las masacres que sufrieron los indios americanos, o a la forzosa evangelización llevada a cabo por los españoles. Cosas todas ellas muy tristes, pero inevitables cuando varias naciones entran en contacto, pues la Historia de la Humanidad es eso: guerras, conquistas y artimañas para ser los más poderosos. En aquel momento les tocó a los indios ser los más débiles, igual que en su día los celtas fueron más débiles que los romanos, o éstos más tarde cayeron ante los germanos. Mala suerte para cada uno en su momento, pero la Historia es así, no podemos estar siempre lamentándonos de cosas que eran inevitables dadas las circunstancias. Y ese político-correctismo con el que algunos intentan remover culpas de hace 500 años, aunque en parte comprensible, me parece inoportuno e injusto con la fecha. Si quieren revindicar matanzas, mejor que lo hagan el día en que Pizarro capturó a Atahualpa en Cajamarca, lo cual marcó el principio del fin del Imperio Inca. Empañar el descubrimiento con las guerras posteriores, me parece injusto.

Todas estas actitudes me dan mucha pena. Y siento que la gente sea tan corta de miras.

Yo no es sido nunca de banderas. Jamás he enarbolado una. Lo máximo que recuerdo en este aspecto es haber colgado con mi familia una bandera de Barcelona en el balcón durante las olimpiadas del 92, y haber besado la bandera nacional durante la jura, cuando estaba en el Ejército. Me siento más a gusto viéndome como un ciudadano del mundo, como ayer por la noche: fuimos mi chica y yo a cenar con unos ex-compañeros de su curso de catalán; uno de Senegal, otro de Inglaterra, una rusa, dos vascas, una extremeña... todos compartiendo cerveza y mesa, sin pensar en banderas. Como debería ser siempre.

Reflexionando en estas cosas, me ha dado mucha pena ver cómo una jornada histórica como la del 12 de Octubre, el descubrimiento de América, se ha convertido más en una jornada de odio, resentimiento, nacionalismo, revanchismo, chauvinismo y otros sentimientos detestables, en lugar de un recuerdo de un momento importantísimo y de una gesta increíble, cuando tres barquitos provenientes del continente europeo (aunque en realidad su última escala la hicieron en territorio africano, en Canarias), se atrevieron a cruzar ese océano que antes nadie se había atrevido a cruzar, llegaron a unas tierras nunca vistas por sus conciudadanos y, lo más importante: volvieron para contarlo, poniendo así en contacto dos civilizaciones que hasta entonces habían permanecido separadas: la de los indios americanos y la de las naciones de Europa, Asia y África. Y me da pena que algunos lo usen como exaltación nacional, otros para provocar sentimientos de culpabilidad, otros para sentirse ofendidos por las exhibiciones nacionalistas de los de al lado... como si la unión de dos mundos fuese algo sin importancia, una mera escusa para molestar a otros.

Qué quieren que les diga, para mí la llegada de Colón a América sí es algo que celebrar. Sin pensar en banderas ni en razas, sin buscar culpas o culpables, sin buscar orgullos ni vergüenzas, simplemente pensando que ese día, cuando aquel puñado de marineros contempló aquellas tierras hasta entonces desconocidas para ellos, y cuando los indios vieron a esos hombres que no se parecían a los que habían conocido, fue como la llegada del hombre a la Luna, o como cuando Marco Polo volvió de China para contar sus viajes. Fueron momentos históricos, pero no para esos hombres en concreto, o para España, o para las tribus indias del Caribe. Fue la Humanidad entera la que ese día quedó más unida, porque se conocieron los dos grandes núcleos humanos del mundo. Y eso es algo grande, más grande que ninguna bandera, tan grande que las pequeñeces de nuestro tiempo no pueden eclipsarla.

Imagen: http://www.sellosmundo.com/America/Nicaragua/sello_237004.htm

El penúltimo bache

Ya el 1 de enero escribí sobre la insostenible situación de las finanzas mundiales, y especialmente las de EEUU. Ese día, durante 2 horas, EEUU estuvo de algún modo en situación de suspensión de pagos, aunque finalmente los políticos llegaron a un acuerdo límite. Hoy se confirma lo que ya comenté: que el problema no se soluciona, sino que se desplaza, y que cada supuesto "gran acuerdo" que se produce no es más que una huida hacia delante ante un problema que no se quiere afrontar. El propio Obama ha reconocido que, incluso si accediera a las peticiones republicanas de recortar los nuevos gastos sanitarios, esto apenas daría un par de meses de tiempo más, hasta encontrarse de nuevo en un callejón sin salida.

Hoy se produce una nueva situación de impago, pero esta vez más grave, porque amenaza con durar varios días. Esta vez sí que algunos empleados (especialmente los de la NASA) han sido enviados a sus casas, al no poder pagarles estos días de trabajo. El ridículo de los EEUU es impresionante, y probablemente la agencias de rating se vean obligadas a rebajarles la calificación (si es que estas agencias quieren conservar aún la poca credibilidad que tienen). Bastantes miles de ciudadanos se verán afectados económicamente, y lo peor de todo: si la confianza decrece, puede subir el interés de la deuda, lo cual sería ya un golpe definitivo. Con casi 17 billones de dólares de deuda, un leve incremento del interés significaría que cada nuevo crédito pedido caería como una losa sobre la ya insalvable montaña de dinero a pagar.

Hay quienes dicen que no es para tanto, que ya en otras épocas hubo momentos de cese de la actividad administrativa norteamericana por falta de dinero, la última con Clinton en el 96. Pero hay una diferencia sustancial: la deuda va aumentando exponencialmente, por lo que, cada año e incluso cada mes que pasa, el margen de maniobra es mucho más pequeño. Ahora mismo, el mundo entero (y EEUU en particular) está al límite. Lo que con Clinton era un simple pulso político, hoy es una mirada hacia el abismo. No se puede forzar más la máquina, y cada paso en falso que se da puede provocar el Armagedón.

Probablemente ocurrirá lo siguiente: en las próximas horas o días se resolverá este bache mediante un acuerdo político in extremis, sea a favor del bando que sea (en realidad da igual, porque la lucha política que hay detrás de esto es secundaria, por mucho que algunos digan que es el fondo de la cuestión). El caso es que sólo se salvará el golpe, pero a finales de año volveremos a estar en las mismas, y quizás haya un nuevo periodo de unos cuantos días de inactividad administrativa. Nuevamente se llegará a un acuerdo, y en dos o tres meses volveremos a lo mismo. Así hasta que alguno de estos baches sea el definitivo, y de una vez por todas se acabe esta agonía en la que está inmerso nuestro planeta desde hace cinco años (pero que en realidad tiene su origen en los cambios de finales de los 80).

¿Cuál será el momento clave? No podemos saberlo. Seguramente no será este (aunque ojalá), pero visto lo ocurrido en el último año, presumiblemente sea el año que viene. Los intervalos de tiempo entre crisis son cada vez más cortos y las matemáticas nos señalan que deben ir acortándose más y más. Ya hemos traspasado la frontera del medio año, y en breve entraremos en crisis periódicas de dos o tres meses, algo imposible de aguantar políticamente. Ya no se podrá esconder la situación como una simple "discusión de los presupuestos", sino que habrá que reconocer que es el sistema mismo el que está en fase terminal; que no es que haya que sentarse en una mesa a ver si los impuestos suben o bajan un poco, sino que la civilización tal y como la hemos conocido en los últimos 25 años, no puede continuar.

¿Por qué hay doce notas?

La música es un arte bien conocido, y no son pocos los que han estudiado sus elementos principales (las notas, las escalas, los acordes...). Sin embargo, pocas veces se pregunta la gente de dónde viene toda esa estructura. Cuando uno aprende música, lo asume como algo establecido y deja su origen a los físicos, sin pararse a preguntar por qué un Do es un Do tanto si suena más grave como si es más agudo, tanto si lo toca un piano como un violín. O por qué se escogen las 7 notas de la escala mayor de Do habitualmente, y no cualquier otra combinación de las 12 notas de la escala cromática completa, e incluso, en definitiva, por qué la escala cromática tiene 12 notas y no 11 o 13.

Esta última pregunta siempre me había intrigado desde que comencé a estudiar música, y no fue hasta mucho más tarde cuando entendí de dónde venía todo. Algunas páginas por Internet explican bastante bien toda esta teoría, pero van directamente a los resultados, sin explicar el proceso de búsqueda. Creo que es más bonito ir siguiendo todo el avance científico, desde la ignorancia, pasando por la observación del fenómeno, los intentos teóricos de crear un sistema coherente, y finalmente los resultados; así que hoy lo explico aquí, por si a alguien le interesara tanto como a mí esta curiosidad y quiere descubrirla siguiendo los pasos que seguramente guiaron, primero a los pitagóricos, y más tarde a los demás investigadores de este tema.

Buscando un primer sonido

El sonido es una onda, una alteración del aire que sigue las leyes del movimiento ondulatorio. Las ondas vienen definidas por su amplitud, su frecuencia y su fase. Lo que más caracteriza a un sonido desde el punto de vista musical es la frecuencia, de modo que nos olvidaremos de la amplitud (que correspondería al volumen de la música) y de la fase (que no tiene interés musicalmente, ya que no altera la nota).

Existen infinitas frecuencias audibles. Pero si queremos hacer música, necesitamos trabajar con unas frecuencias concretas e identificables, no con infinitos sonidos arbitrarios. Para ello debemos escoger entre los sonidos audibles (aproximadamente entre los 20 Hz y los 20 KHz) unos cuantos que nos permitan hacer música. Por lo general, el que se toma como referencia es el de 440 Hz, al que se llama La (o, en la notación anglosajona, A). Así que esa será nuestra primera nota, a la que a veces se denomina tónica.

Los armónicos

Pero con una nota no hacemos nada, necesitamos más sonidos. ¿Qué otra frecuencia escogeremos? ¿441 Hz? ¿1000 Hz? ¿33,67 Hz? No podemos hacerlo arbitrariamente, sino que lo lógico sería escoger un sonido que fuera lo más consonante posible con La. Un sonido consonante es aquel que suena "bien" con otro, que provoca un efecto agradable, como si ambos sonidos tuvieran algo en común. En cambio, un sonido disonante es aquel que suena "mal", que produce un efecto violento y desagradable al sonar con otro. En la música se usan ambos efectos, según la impresión que se quiera crear en el oyente. Los sonidos disonantes vienen bien para momentos de tensión o emoción, mientras que los consonantes se usan para provocar un efecto de tranquilidad y armonía. Pero de momento nos interesan más los consonantes, porque queremos crear una estructura básica en la que todo "encaje"; para crear disonancias siempre estamos a tiempo.

Lógicamente, la consonancia tiene que ver con la relación de las frecuencias. Si la forma de la onda de ambos sonidos tiene alguna relación, serán consonantes; si no, se crea una disonancia. Parece lógico, por tanto, probar de entrada con la frecuencia justamente doble, 880 Hz. Si escuchamos ambos sonidos veremos que tienen una bonita similitud; uno más agudo que otro, por supuesto, pero nos provocan una sensación muy parecida. Lo mismo ocurre si probamos con la mitad de la frecuencia, 220 Hz. La nueva nota es más grave, pero se parece mucho a La. Hay razones físicas que provocan este efecto, entre ellas el hecho de que un cuerpo (en este caso el instrumento musical) sometido a una vibración, normalmente no vibra en una sola frecuencia perfecta, sino que aparte de la frecuencia principal, vibra también en todo un conjunto de frecuencias que son las que le dan el timbre característico. A la izquierda podéis ver un gráfico en el que diferentes ondas puras se suman para crear la vibración real que se produce en el instrumento. La mayor parte de estas frecuencias son armónicos de la frecuencia principal, es decir, ondas que guardan una proporción exacta con la frecuencia básica (el doble, el triple, etc.). Por eso vamos a buscar entre esos armónicos las frecuencias adecuadas para crear una escala. El primer armónico que encontramos es el que tiene el doble de frecuencia, aunque en realidad se suele hablar de primer armónico para referirse a la nota principal (en este caso la de 440 Hz) y al siguiente (800 Hz) ya se le llama segundo armónico, al de frecuencia triple tercero, etc.

El segundo armónico: La octava

La similitud entre una onda y su segundo armónico sugiere una idea que es fundamental: Puesto que ambos sonidos se parecen mucho, ¿por qué no consideramos que son en realidad la misma nota y buscamos otras que estén entre las dos para formar una escala? De este modo, repitiendo el mismo esquema pero multiplicando las frecuencias de todas esas notas, volveríamos a tener la escala de nuevo, pero en un registro más agudo. Pues bien, a este intervalo de frecuencias entre la nota tónica y su segundo armónico, se le llama una octava, y de hecho al segundo armónico mismo se le denomina octava.

La octava nos ofrece dos cosas muy interesantes: primero, un espacio más limitado en el que trabajar (ya no estamos entre los 20 Hz y los 20 KHz, sino entre 440 Hz y 880 Hz), y segundo, la posibilidad de reproducir la escala en tonos más graves o más agudos (una vez escojamos las notas dentro de la octava, sólo tenemos que ir multiplicando o dividiendo por 2 todas las frecuencias, y mágicamente tendremos la escala en un registro más agudo o más grave).

Podemos convenir entonces en que el sonido de 220 Hz y el de 880 Hz también son La, solo que de otras octavas. Al de 440 se le suele llamar La₄, para distinguirlo de los demás. Así, el de 220 sería el La₃, etc. Los franceses y los belgas son algo especiales y usan una notación desplazada, así que para ellos el de 440 es el La₃.

Bien, pero no podemos hacer música con unas notas que suenan prácticamente igual (recordemos que, aunque se cambie de octava, el sonido resulta muy parecido al oído humano y que, aunque más grave o más agudo, provoca una sensación parecida). Necesitamos más "colorido", más variedad, necesitamos llenar el espacio de la octava con notas diferentes, pero... ¿qué nueva frecuencia escogeremos?

El tercer armónico: La dominante

Una opción bastante lógica es escoger un armónico, es decir, un múltiplo o un divisor exacto de la frecuencia de la nota La. De este modo, aunque la onda no sea tan consonante como la octava, probablemente conseguiremos un efecto bastante armónico. Por tanto, lo lógico es escoger ahora el triple, igual que antes escogimos el doble, es decir, 1320 Hz. A esta nota la llamaremos Mi. Pero esta frecuencia no nos interesa, porque buscamos frecuencias dentro de la octava (entre 440 Hz y 880 Hz). ¿Qué podemos hacer? Fácil: usar el Mi de la octava anterior, es decir, 660 Hz. Ya tenemos una escala de dos notas: La (440) y Mi (660). A esta segunda nota de la escala se la llama a veces dominante, y más frecuentemente, la quinta (luego veremos por qué).

Fijémonos en un detalle curioso. Si a la frecuencia de nuestra nota principal la llamamos f, La frecuencia de este Mi es justamente f+

f / 2

o, si se prefiere,

3f / 2

.

Vale la pena ver la correspondencia que tiene esto en la vibración de una cuerda. Dado que la longitud de onda es la inversa de la frecuencia, sabemos que si la longitud de onda de La era L la nueva longitud de onda será

2L / 3

. En este gráfico podéis ver cómo los diferentes armónicos van multiplicando siempre la frecuencia de la tónica. Desgraciadamente, para volver a encontrar una frecuencia que sea múltiplo exacto, tendríamos que ir hasta el quinto armónico, a frecuencias bastante altas. Si lo que queremos es obtener fracciones lo más "enteras" posibles, podemos seguir la regla

nL / n+1

, o si se prefiere en frecuencia f

n+1 / n

.

Buscando la tercera nota: La subdominante. "Los tres acordes".

Fijémonos que esta serie de números nos viene bien porque mientras usemos una fórmula del estilo de f+f/n, siempre nos estaremos moviendo dentro de la octava, e iremos encontrando las fracciones más "exactas" en relación a la frecuencia fundamental. Para n=3 el resultado será aproximadamente (vamos a trabajar con números más o menos redondos para que se entienda mejor) 440+146=586. A esta nota de 586 Hz la llamaremos Re, y a veces se la denomina subdominante, y más frecuentemente la cuarta.

Ya tenemos tres notas. Estas tres notas son muy importantes, y de hecho se han convertido en un clásico de la música. A menudo escuchamos la expresión despectiva: esta canción está hecha sólo con tres acordes. Y realmente es cierta: muchísimas canciones populares tienen sólo tres acordes. ¿Adivinamos cuáles? En efecto, el de la tónica, el de la dominante y el de la subdominante. No en vano las tres notas encajan bien entre sí, mejor que cualquier otra combinación. 

El intervalo

Aparentemente, una solución fácil sería repetir el proceso hasta tener tantas notas como nos interese en nuestra escala musical. Vamos a intentarlo con los siguientes divisores, a ver qué ocurre:

n=4: 440 + 110 = 550

n=5: 440 + 88 = 528

n=6: 440 + 73 = 513

n=7: 440 + 62 = 502

n=8: 440 + 55 = 495

n=9: 440 + 48 = 488

La primera de ellas (550 Hz) sí podemos identificarla con una nota (más adelante veremos que corresponde a Do#), pero si nos fijamos en el resto de la serie, vemos que las diferencias se hacen ya muy pequeñas, hasta el punto de que la diferencia entre un sonido y el siguiente es de 7 u 8 Hz, una diferencia apenas apreciable. Eso es un problema, porque nos convendría tener una escala repartida uniformemente, es decir, que la "diferencia de tono" entre una nota y la siguiente sea más o menos la misma, escojamos la nota que escojamos, de modo que todo el "espacio tonal" quede dividido de una manera más o menos uniforme. ¿Qué podemos hacer? Es aquí donde aparece el concepto de intervalo. Un intervalo es la "diferencia de tono" entre dos notas.

Bien, una posibilidad matemática es dividir el espacio de frecuencia entre f y 2f en n intervalos regulares. De entrada a uno se le ocurre que cada intervalo valdría f/n, y que para cada nota musical m su frecuencia sería f+(mf/n), donde m vale entre 0 y n. Sin embargo, sabemos que no podemos hacerlo así, porque la frecuencia va aumentando exponencialmente. Por ejemplo, la frecuencia de cada octava no es igual a la de la nota base más una cantidad, sino a la base multiplicada por 2. Como todo aumenta a base de factores, no podemos hacer una división aritmética de la octava, sino geométrica. Entre una nota y la anterior no habrá que sumar una cantidad constante, sino multiplicar por una cantidad constante, K. Como partimos de f y debemos llegar a 2f, K será igual a la raíz n-ésima de 2. Por ejemplo, si sólo queremos tener 3 notas en la escala (4 si contamos la octava), usaríamos la raíz cúbica de 2, de modo que las notas tendrían las frecuencias f , fK, fK². La sigiente ya sería fK³=2f.

Arriba podéis ver un gráfico de la octava de La dividida en 6 notas equidistantes (desde el punto de vista musical) y que, sin embargo, corresponden a valores no proporcionales en el eje de frecuencias. Evidentemente, lo mismo que se aplica a la frecuencia se aplica inversamente a la longitud de onda, y eso explica que los trastes de una guitarra no estén separados por la misma distancia, sino que van siguiendo una progresión característica.

La escala bien temperada

Fijémonos en que al querer dividir la escala en intervalos exactamente iguales (lo cual parece lógico musicalmente), el resultado no encaja con las fracciones de los armónicos. Esto crea una pequeña discrepancia numérica que explica en parte la pequeña desviación que veis en los valores que vamos calculando. Por ejemplo, sabemos que Mi acabará siendo la séptima nota de la escala de 12 notas, y también sabemos que la frecuencia de Mi es 3/2 de la de La (660 a 440); sin embargo, si tomamos K como la raíz doceava de 2 y calculamos 440·K⁷, no da exactamente 1,5 sino más bien 1,498. En definitiva, nos encontramos ante un compromiso: o dividimos la escala mediante factores racionales, pero entonces los intervalos resultantes no serán exactamente iguales (aunque pueden ser casi iguales), o bien la dividimos en intervalos exactamente iguales, pero mediante un factor irracional, con lo que las frecuencias resultantes no encajarán exactamente con las de la serie armónica, que obteníamos multiplicando por fracciones exactas. No hay alternativa, hay que escoger entre un método u otro. En la antigüedad se usaba bastante el primer método, pero desde los tiempos de J.S. Bach se usa el segundo tipo de escala "equidistante", a la que se denomina escala bien temperada. Esta pequeña divergencia de cualquiera de los dos métodos puede parecer un problema, pero es más bien un problema teórico; en la práctica se corrige en la afinación definitiva del instrumento que hace el músico, y no supone un gran inconveniente.

Por tanto la fórmula de la frecuencia de una nota m será: f K^m, donde K es la raíz n-ésima de 2. Ahora la pregunta sería, ¿qué n queremos?, es decir ¿cuántas notas debe tener la escala?

Primer intento: el tono

Si miramos la diferencia de frecuencias entre las notas que ya teníamos, veremos que La (440) está bastante "lejos" de las otras dos. Sin embargo, el intervalo que forman Re (586) y Mi (660) no es muy elevado. En efecto, este intervalo es muy importante en la música, y se lo denomina tono. ¿Y si consideramos el tono como el intervalo básico de la escala e intentamos dividir la octava con él? Bien, si tenemos en cuenta que la frecuencia de una nota de la escala se puede obtener multiplicando la de la nota anterior por K, eso significa que K=660/586, que es aproximadamente 1,126. Bien, vamos a ver qué pasa si intentamos dividir la octava en tonos. En realidad, y aunque no pretendo entrar a fondo en el tema del cálculo, es inevitable que perdamos algo de precisión. Recordemos que la frecuencia de Re era 440+440/3, lo que en realidad sería 586,666... Pero para comprender la teoría ya nos sirve:

0: 440
1: 440 · K = 495,56
2: 440 · K² = 558,14
3: 440 · K³ = 628,62
4: 440 · K⁴ = 708
5: 440 · K⁵ = 797,41
6: 440 · K⁶ = 892

Esta tabla nos lleva a varios resultados curiosos. En primer lugar, parece que realmente hemos conseguido dividir bastante bien la octava, puesto que la frecuencia de la última nota (892) es casi la de la octava (880). La diferencia de 12 Hz es apenas un 1% de la frecuencia misma de la nota. Esto podría dar lugar a una escala de 6 notas (la misma que se habíamos visto en el gráfico de la distribución exponencial de las frecuencias), lo cual estaría bastante bien.

Sin embargo, observamos un detalle bastante desagradable: ni Re ni Mi están en los resultados obtenidos. Ninguna de las frecuencias está próxima a ellas. Y evidentemente, no nos interesa una escala que no incluye ninguna de las dos notas más consonantes con la tónica.

Segundo intento: el semitono y el ciclo de cuartas

Como el tono no nos ha funcionado, vamos a intentar otra estrategia. Vamos a volver al criterio inicial de las fracciones enteras, y vamos a buscar la nota más consonante posible con las que tenemos. Puesto que ya sabemos que la más consonante con La es Mi, vamos a ver cuál sería la más consonante con Mi, que probablemente será también bastante consonante con La. Si buscamos la dominante de la escala de Mi, tendremos que 660·3/2 = 990, que trasladada a nuestra octava sería 495. A esta nota la llamaremos Si. Ya puestos, podríamos buscar la subdominante de Mi: 660·4/3 = 880. Vaya, resulta que es justamente la octava de La.

Vamos entonces a probar con los armónicos de Re, a ver qué pasa. Su dominante sería 586 + 586/2 = 879. Vaya, está claro que si usáramos toda la precisión decimal, sería en realidad 880, es decir, nuevamente La. No es sorprendente que todo cuadre, puesto que f·(3/2)·(4/3)=f·(4/3)·(3/2)=2f. Y aquí es donde vemos una vez más la importancia de la cuarta: resulta que el intervalo de cuarta es justamente el complementario del de quinta.

Parece, por tanto, que si vamos buscando siempre la quinta de la quinta (y corrigiéndola para que entre en nuestra octava) o bien la cuarta de la cuarta, esto va generando nuevas notas. Iremos multiplicando siempre por 3/2, 3/4 o 3/8, según nos convenga para que el resultado entre en la octava. Vamos a ver los resultados (una vez más, pongo cifras enteras e ignoro las desviaciones del cálculo):

Por quintas: La (440), Mi (660), Si (495), Fa# (742), Do# (556), Sol# (834), Mi♭ (625), Si♭(468), Fa (702), Do (526), Sol (789), Re (591), La (443).

Hay una cierta desviación por el cálculo con decimales, pero puede verse que, tras los doce pasos, llegamos a la nota original. Si intentáis hacer el mismo proceso con las cuartas, veréis que salen las mismas notas, pero en sentido contrario: La, Re, Sol, Do, Fa, etc. A este ciclo de notas se le llama ciclo de cuartas (e igualmente se puede hablar de ciclo de quintas para el de más arriba), y lo usan bastante los músicos para un cambio de escala llamado modulación, que va más allá del objetivo de este artículo.

La escala cromática

Es evidente que si hemos conseguido encontrar 12 notas tanto a través de las quintas como de las cuartas, y cerrar el ciclo, estas notas son buenas candidatas para formar una escala. Desgraciadamente, las hemos encontrado desordenadas. Vamos a intentar ordenarlas para formar la escala tal y como la usan los músicos:

La (440), Si♭(468), Si (495), Do (526), Do# (556), Re (591), Mi♭ (625), Mi (660), Fa (702), Fa# (742), Sol (789), Sol# (834), La (443)

En la notación anglosajona, esta escala es: A, A#, B, C, C#, D, D#, E, E#, F, F#, G, G#, A.

Si dividís dos frecuencias consecutivas, veréis que dan un resultado parecido, aproximadamente de 1,060 que es más o menos la raíz duodécima de 2. Esto cuadra bastante con lo que vimos más arriba de que un buen candidato para ir obteniendo las frecuencias es usar la raíz n-ésima de 2 como factor. En aquel momento escogimos el tono e intentamos dividir la octava en 6, y no nos sirvió. Entonces usamos K=660/586, que es aproximadamente 1,126, aproximadamente la raíz sexta de 2. Ahora vemos que si la dividimos en 12 intervalos y usamos la raíz duodécima, para obtener una escala bien temperada, cuadra bastante bien. Esta diferencia tonal es justo la mitad del tono, y por eso se llama semitono, y es el intervalo fundamental de la música occidental. La escala que forman estas 12 notas se llama cromática. Y ahora ya sabemos la fórmula para obtener la nota n-ésima de la escala de La₄, que puede escribirse de esta bonita manera:

f = 440 · 2^n/12

Lógicamente, cambiando 440 por la frecuencia de la nota deseada, podremos obtener las de su escala correspondiente. Aquí también vemos una explicación de por qué la división de la octava en intervalos iguales no cuadra con el método de los armónicos. Recordad que el método de los armónicos usa siempre multiplicaciones con fracciones enteras. En cambio, este método usa números irracionales. Por ejemplo, la sexta nota de la escala se obtendría multiplicando 440 por la raíz cuadrada de 2, que sabemos que es un número irracional. De todos modos, esta discrepancia es tan pequeña que no resulta relevante para el músico, y se puede afinar cuadrando bastante bien las dos reglas.

Vemos pues una primera explicación de por qué hay 12 notas. Ahora bien, desde pequeños vemos que en un piano se distinguen siete notas con teclas blancas, más grandes, y otras cinco con teclas negras, más pequeñas. Aquellas que no forman parte de las 7 notas de la escala mayor de Do, se escriben como una alteración de otras notas, con el símbolo sostenido (#) para aumentar un semitono, o bemol (♭) para bajarlo. Por cierto: formalmente se podría usar indistintamente uno u otro; no pasa nada por escribir Re# en lugar de Mi♭. Simplemente, por tradición se tiende a usar el bemol sobre Mi y Si, y el sostenido sobre Do, Sol y Fa.
Vamos a ver ahora la razón de esta separación entre las 7 notas básicas y las 5 restantes.

La escala diatónica

Nos puede parecer que, matemáticamente, desde un punto de vista formal, la escala cromática es el no-va-más. Sin embargo, para un músico tiene dos pequeños inconvenientes. El primero es que el intervalo de semitono es bastante pequeño. Esto hace, por un lado, que surjan demasiadas notas (nos hubiera bastado con 7 u 8) y por el otro, que los tonos estén demasiado juntos, ya que en música suele venir bien que el "salto" entre las notas de una melodía no siempre sea tan pequeño.

El segundo inconveniente es que la escala no tiene "carácter". Es totalmente regular. Si uno toca la escala con un instrumento, nota como si simplemente hubiera una progresión de un sonido que se hace cada vez más agudo, no transmite nada. Para que una escala resulte emotiva, viene bien que ella misma sea una especie de melodía, con saltos irregulares previamente escogidos para causar una sensación.

De alguna manera puede parecer contradictorio que hayamos comenzado buscando la máxima consonancia y la máxima regularidad, y ahora queramos introducir irregularidades. Pero al principio se trataba de sentar unas bases lógicas, un fundamento teórico, y ahora ya necesitamos algo más práctico, que nos sea útil musicalmente. En la música, aunque el intervalo de semitono se usa, es conveniente basarse más bien en el de tono, e incluso a veces en el de tercera menor (tono + semitono). ¿Cómo podemos crear una escala con estos intervalos? Ya lo intentamos más arriba al dividir la escala en 6 y fracasamos, porque resultaba que la nota cuarta está a dos tonos y medio de la primera, y la quinta a tres tonos y medio, y nos conviene que tanto una como la otra pertenezcan a la escala.

Para ello vamos a volver al ciclo de quintas: La, Mi, Si, Fa#, Do#, Sol#, Mi♭, Si♭, Fa, Do, Sol, Re, La... Pero como la que verdaderamente tiene importancia para nosotros es la tónica (La) vamos a mirar el ciclo centrándonos en ella:

...Mi♭, Si♭, Fa, Do, Sol, Re, La, Mi, Si, Fa#, Do#, Sol#, Mi♭...

Fijémonos en un detalle: todas las notas "no diatónicas" están juntas, y bastante alejadas del La. Es como si la escala diatónica mayor (Do-Re-Mi-Fa-Sol-La-Si) se hubiera definido centrándose en el ciclo de quintas y escogiendo unas cuantas notas por encima y unas cuantas por debajo de la tónica deseada. Y en efecto, así es como se construye. En concreto, escogiendo Do como tónica, su cuarta (Fa) y las siguientes cinco quintas, se obtiene esa escala. A su vez, la escala diatónica menor en La se obtiene centrándose en el La, y escogiendo las dos siguientes quintas y las cuatro anteriores cuartas.

Para completar la octava sin que haya intervalos mayores que el tono, nos basta con escoger siempre siete notas. He aquí la explicación de por qué la música occidental se basa en escalas de siete notas precisamente. Lo que diferencia a cada una de las escalas que se suelen escoger son los lugares en los que caen los intervalos de semitono, ya que para completar la octava es necesario que dos de los intervalos sean de semitono. De lo contrario, no podremos incluir las notas dominante y subdominante, y eso sería un problema.

En el caso de la escala mayor, se prefiere un esquema del tipo tono-tono-semitono-tono-tono-tono-semitono, mientras que en la escala menor se prefiere tono-semitono-tono-tono-semitono-tono-tono. Existen también otras muchas modalidades de la escala, llamadas modos, cada una con su "carácter", eso que la escala cromática no nos ofrecía y que el músico ha de saber escoger en sus composiciones. Pero escribir sobre los modos y su carácter ya entraría en una discusión puramente musical, más allá de la teoría que he intentado explicar en este texto.

Imágenes:

http://www.magneticsolutions.com.au/glossary-popup.html

Teruel existe... vaya si existe

Teruel

Esta frase se ha convertido en un clásico, hasta el punto de que incluso los recuerdos turísticos turolenses la usan como lema. Y es que Teruel tiene fama de ser una de las provincias menos visitadas y conocidas de nuestro turístico país, un triste liderazgo que probablemente comparte con Palencia y Albacete. A ello contribuyen, sin duda, su frío clima y sus pésimas comunicaciones.

Pero como soy de los que piensan que a menudo los mejores tesoros se mantienen apartados del gran público, y que vale la pena aventurarse a descubrir aquellos lugares sobre los que casi nada sabemos, decidí visitar la provincia recientemente, aprovechando uno de mis viajes hacia en centro peninsular. Y descubrí, como me esperaba que sí, que Teruel existe. Vaya que si existe.

Morella

Mi viaje comenzó en realidad unos kilómetros antes, en el también muy desconocido interior de la provincia de Castellón, en la ciudad amurallada de Morella, centro turístico de la zona gracias entre otras cosas a sus bien conservadas murallas, su elevado castillo y su aspecto de antigua fortaleza medieval.

El trayecto hacia Teruel desde allí no resulta sencillo. Sólo hay carreteras locales que transcurren a través de las montañas. No es de extrañar, pues Morella se encuentra prácticamente en el centro de una amplia zona por la que no pasan carreteras importantes. De ahí que llegar a Teruel desde un sitio que no sea Zaragoza o Valencia, resulta francamente incómodo.

Mirambel

Pero todo tiene su parte positiva, y en este caso, la dificultad de las carreteras nos permite descubrir pequeñas joyas en una región casi totalmente libre del turismo masificado. Desgraciadamente no tuve tiempo de hacer un recorrido exhaustivo, pero sí de visitar un par de lugares. 

El primer pueblo interesante que encontramos al entrar en la provincia es Mirambel, un pequeño pueblo que tiene pinta de haber sido rehabilitado recientemente. Las construcciones mantienen un sabor muy tradicional y natural, alejado de esas reconstrucciones artificiosas con aire de parque temático. Los balcones de madera oscura, las paredes de piedra, las murallas y la torre de la entrada... todo recuerda un pasado más glorioso, al que ha seguido un cierto abandono. Por suerte la villa no ha caído en el olvido, y se nota que el esfuerzo de los vecinos, y seguramente de la Administración, ha permitido mantener vivo su espíritu.

Cantavieja

Un poco más hacia el Oeste, en lo alto de una montaña en la que se refugian sus murallas, como las de tantas otras poblaciones de la Reconquista, se halla Cantavieja; un municipio que, al igual que Morella, tuvo un papel importante durante las Guerras Carlistas.

A partir de aquí, continúan las tortuosas carreteras de montaña, en las que existen también otros pueblos singulares, como dos poblaciones muy cercanas entre sí, cuyos nombres están invertidos: Rubielos de Mora y Mora de Rubielos. Desgraciadamente, no dispuse de tiempo para visitarlas.

En cuanto llegamos a la ciudad de Teruel, nos sorprende descubrir ciertas joyas singulares, como su acueducto-puente, o sus bonitos edificios modernistas, obra de Pablo Monguió, un arquitecto tarraconense, discípulo de Gaudí. Alguno de ellos se encuentra en la plaza más céntrica y animada de la ciudad: la plaza del "torico", una plaza que tiene otros nombres, pero que es llamada así por la estatua de un pequeño toro que adorna su centro.

Especialmente original es la enorme escalinata que conduce a la estación de tren, que se encuentra bastante más baja que el casco antiguo. Para mí, es el gran atractivo de la ciudad.

También singular y bien conservada es su catedral. Cierto que en España tenemos muchas y muy bellas catedrales, pero no todas las ciudades tienen una catedral morisca adornada con esa especial mezcla de azul y ladrillo, que le da un toque completamente diferente.

En general, me parece un sitio bastante recomendable, no sólo porque supera las expectativas del visitante, sino porque, al ser un lugar poco visitado, nos permite disfrutar de él tranquilamente y a un precio asequible.

Dejamos ya la ciudad, y nos dirigimos rumbo a Cuenca, a través de la Sierra de Albarracín, un lugar maravilloso que vale la pena visitar. En cuanto empiezan sus montañas, descubrimos unos singulares agujeros en las piedras, por los transcurría el agua que los romanos llevaban a la ciudad.

Al poco rato llegamos a uno de los pueblos más bellos de España, que da nombre a la sierra: Albarracín. Situado en la ladera de una montaña y protegido por una espectacular muralla que escala el monte hasta su cima, este pueblo ha conseguido salvar su esencia del paso del tiempo, en buena medida gracias al turismo.

Resulta bastante duro ascender por sus empinadas calles desde el río, y pasear junto a sus casas de piedra, pero vale la pena el esfuerzo, porque pocas poblaciones tienen esa combinación de montaña, bosque, río, casas antiguas vistas espectaculares, variedad de lugares para comer y alojarse... es algo que las dos fotos que pongo no pueden reflejar, hay que estar allí y disfrutarlo.

Una vez nos despedimos de Albarracín, nos espera un largo camino por altas montañas hasta la provincia de Cuenca, pero aún hay un último lugar por visitar antes de entrar en Castilla-La Mancha: el nacimiento del río Tajo.

En efecto, en medio de estas montañas, en un lugar elevado donde los árboles se separan y dejan ver la hierba y algunos manantiales, nace el río más largo de la península.

Allá se alza un monumento al río, y junto a él se puede observar cómo los manantiales de la explanada confluyen en una pequeña laguna, a partir de la cual comienza a fluir el río, rumbo al Altántico.

Y hasta aquí llega el viaje que os quería mostrar. Espero que os haya gustado y que os invite a visitar esta región. Vale la pena. Y es que resulta sorprendente que una de las provincias menos conocidas del país guarde tantos tesoros. Aunque por otro lado es de agradecer, porque eso permite al visitante contemplarlos sin el fastidio de las hordas de turistas o la estafa de los negocietes surgidos alrededor de los lugares famosos, donde cualquier cosa te cuesta el doble de lo normal, sólo porque está al lado de cierta plaza, cierta iglesia o cierto castillo.

Realmente, la desconocida Teruel es mucho más bonita e interesante que la muy conocida Zaragoza, ciudad en la que apenas hay nada que ver, pero que, en parte por su estratégica situación, en parte por la exagerada fama de su "pilarica" le ha arrebatado el protagonismo a su hermana aragonesa. Y por cierto, una última curiosidad sobre Zaragoza: resulta paradójico que, a pesar de tener muy poco que visitar, una de sus mayores joyas, el Palacio de la Aljafería, sea apenas conocida por el público. Será que en Aragón, todas las joyas están escondidas.

Dos caminos, un resultado

Buceando por la red, descubro dos interesantes artículos sobre empresarios emprendedores. Uno habla de la importancia de ceñirse a las necesidades de los clientes, sin partir de una idea, de una herramienta interesante. Otro habla de lo importante que fue crear una herramienta interesante, sin preocuparse del mercado e incluso sin tener un modelo de negocio, algo aparentemente fundamental.

¿Qué conclusión extraigo? Que después de tantos consejos, tanto caso de éxito, tanta habladuría sobre lo que se debe y no se debe hacer, al final lo que hay son miles de personas que se lanzan a hacer cosas, de las cuales sólo unas decenas sobreviven de manera verdaderamente exitosa. Lo divertido es que no todos esos casos contados han seguido el mismo camino, y ni siquiera ocurre que ese camino sea diferente al de muchos de los centenares de fracasados. En realidad, son a veces ciertas pequeñas circunstancias las que determinan el éxito final; circunstancias tan caóticas que inevitablemente acaban conteniendo un cierto factor de aleatoriedad, puesto que es imposible que podamos controlar todas las variables. Quizás estén en lo cierto quienes dicen que tener una buena idea no basta, sino que en realidad va a pesar más la capacidad posterior de materializarla.

Esto de los proyectos empresariales es como el mundo de las relaciones amorosas: todos dan consejos, ves manuales de autoayuda por doquier, pero al final lo que decide es tu valor y tu habilidad en el momento de enfrentarte a cada desafío.